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M3.3. Mouvement d’une sphère dans un liquide.

Une pièce sphérique homogène S, de masse m et de rayon a, pénètre verticalement dans le bassin de stockage, rempli sur une hauteur h, d’un liquide de masse volumique m .

Le centre de la pièce " plonge " à l’instant t = 0 en O, à la distance a de la surface libre du liquide à l’intérieur du bassin, avec une vitesse verticale de plongée vo.

On tiendra compte de la force de viscosité f = -kv opposée au déplacement et proportionnelle à la vitesse de S ( k est une constante positive ). On rappelle que la poussée d’Archimède est égale et opposée au poids du volume de liquide déplacé.

On donne :

m = 1,4 kg ; a = 3,5 cm ; m = 860 kg.m-3 ; k = 0,5 SI ; vo = 2 m/s ; g = 9,8 m.s-2.

 

1. Ecrire l’équation v(t) de l’évolution au cours du temps de la vitesse du centre G de S dans le liquide en faisant intervenir la vitesse limite vL de S. On sera amené à réfléchir sur le signe de la composante de la vitesse suivant l'axe Oz.
2. Déterminer la loi z(t) du déplacement vertical de S dans le liquide, comptée à partir de O.

3. Montrer que le temps T, mis par la pièce pour se mouvoir de O jusqu’au fond du bassin, obéit à une équation du second degré si on se contente d’un développement limité de exp x limité au second ordre.

exp x » 1 + x + x2/2 pour x << 1.

Calculer T avec le fond du bassin rempli d’une hauteur de liquide h = 2,35m ?